Función Inversa

f(x): 1/5 x + 1/2

Dominio: todo R

Imagen: todo R

Monotonía: no tiene

Concavidad: no tiene

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f.g)(x) = f(x).g(x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

(a.f)(x) = a.f(x)

Ejercicio: operaciones con funciones

Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4.
Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.
Resolución:
- La función f + g se define como
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2 x - 4 = 5 x - 3.
- (f + g)(2) = 5 · 2 - 3 = 7
(f + g)(-3) = 5(-3) - 3 = -18
(f + g)(1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2
Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.
Por ejemplo, para la imagen del 2,

f(2) = 3.2 + 1 = 7	(f + g)(2) = 7 + 0 = 7
g(2) = 2.2 - 4 = 0

Dadas las funciones f (x) = x ² - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).
Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.
Resolución:
- (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x ² - 3 - (x + 3) = x ² - 3 - x - 3 = x ² - x - 6
- (f - g)(1/3) = (1/3) ² - 1/3 - 6 = - 56/9
- (f - g)(-2) = (-2) ² - (-2) - 6 = - 0
- (f - g)(0) = (0) ² - 0 - 6 = - 6
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.
3) Dadas las funciones f(x) = x/2 - 3 y g(x) = 2.x + 1, definir la función f.g.
Resolución:
- (f.g)(x) = f(x).g(x) = (x/2 - 3).(2.x + 1) = x ² - 11.x/2 - 3
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.
Dadas las funciones f(x) = - x - 1, y g(x) = 2 x + 3, definir f/g.
Calcular las imágenes de los números - 1, 2 y 3/2 mediante f/g.
Resolución:
(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (-x - 1)/(2.x + 3)
La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.
(f/g)(-1) = 0/1 = 0
(f/g)(2) = -3/7
(f/g)(3/2) = (-5/2)/6 = -5/12
Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.
5) Dada la función f(x) = x ² + x - 2, calcular 3.f y f/3.
Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.
Resolución:
- (3.f)(x) = 3.f(x) = 3.(x ² + x - 2) = 3.x ² + 3.x - 6
(1/3).f(x) = (1/3).(x ² + x - 2)
- (3.f)(2) = 3.2 ² + 3.2 - 6 = 12
- (3.f)(1) = 3.1 ² + 3.1 - 6 = 0
- (3.f)(0) = 3.0 ² + 3.0 - 6 = - 6

COMPOSICION DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las
funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f)(x) = g[ f(x)] .
La función (g o f)(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

R

f -- ®

R

g -- ®

R

x ® f(x) ® g.[f(x)]
Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:
1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).
2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

Ejercicio: composición de funciones

Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x ².
Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.
Resolución:
- (g o f)(x) = g.[f(x)] = g.[(x + 3)] = (x + 3) ²

R

f -- ®

R

g -- ®

R

x ® f(x) = x + 3 ® g.[f(x)] = g.(x + 3) = (x + 3) ²
- La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:
(g o f)(1) = g.[f(1)] = g.(1 + 3) = g.(4) = 4 ² = 16
(g o f)(0) = g.[f(0)] = g.(0 + 3) = g.(3) = 3 ² = 9
(g o f)(-3) = g.[f(-3)] = g.(-3 + 3) = g.(0) = 0 ² = 0
Dadas las funciones f(x) = x ² + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular:
a) (g o f) (x)
b) (f o g) (x)
c) (g o f) (1) y (f o g) (-1)
d) El original de 49 para la función g o f.
Resolución:
a) La función g o f está definida por:

R

f -- ®

R

g -- ®

R

x ® f(x) = x ² + 1 ® g.[f(x)] = g.(x ² + 1) = 3.(x ² + 1) - 2 = 3.x ² + 3 - 2 = 3.x ² + 1
b) La función f o g está definida por:

R

g -- ®

R

f -- ®

R

x ® g(x) = 3.x - 2 ® f.[g(x)] = (3.x - 2) ² + 1 = 9.x ² + 4 - 12.x + 1 = 9.x ² - 12.x + 5
Obsérvese que g o f ≠ f o g.
c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores:
(g o f)(1) = 9.1 ² - 12.1 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2
(g o f)(-1) = 9.(-1) ² - 12.(-1) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26
d) El original de 49 para la función g o f será un número x, tal que (g o f)(x) = 49.
(g o f) (x) = 3 x ² + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.
3.x ² + 1 = 49 Þ x ² = 16 Þ x = ±4

Estudio de raíces

Funcion de raíces Dada una función de raíz y= (x+4)^(1/2) Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) Obtenemos su grafica y estudiamos sus propiedades: Dominio: [-4, ∞) Imagen: [0, ∞) Monotonía: Creciente en su dominio Extremos relativos: no tiene Simetrías: No tiene Periocidad: No tiene Aramis Rojas y Amanda Solera, Creación realizada con GeoGebra